�DEV�STAN.........ARADI�INIZ T�M �DEVLER BURDA!!!... ..HO� GELD�N�ZZZZ...�DEV�STAN!!!.....

B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEMLER

25/5/2009 � Kategori: matematik odev

B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEMLER
ax + by = c �eklindeki ifadelere denir. Bu ifadede x ve y nin derecesi (kuvveti) ise, 1 dir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini üç de�i�ik metod ile çözebiliriz.

1.Kar��la�t�rma Metodu
Kar��la�t�rma Metodunda, denklem sistemindeki her iki denklemden herhangi bir bilinmeyen di�er bilinmeyen cinsinden ifade edilir. Bu ifadeler kar��la�t�r�larak denklem sistemi çözülür.

Örnek:

x + y = 26 denklem sisteminin çözüm kü-
x – y = 8 mesini kar��la�t�rma metoduyla bulal�m.

x = 26 – y 26 – y = 8 + y
x = 8 + y

18 = 2y
y = 9 olur.

Bu de�eri denklemlerin herhangi birinde yerine yazarsak,

x = 8 + 9 = 17
Buradan Ç = {(17, 9)} olur.

2.Yerine Koyma Metodu
Yerine koyma metodunda, denklem sistemindeki denklemlerden, uygun olan bilinmeyen, di�er bilinmeyen cinsinden yaz�l�r ve di�er denklemde yerine konur. Böylece elde edilen bir bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.

Örnek:

x + y = 26 denklem sisteminin çözüm kümesini
x – y = 8 yerine koyma metoduyla bulal�m.

x = 26 – y. Bu x de�erini 2. denklemde yerine koysak,

(26 – y) – y = 8 26 – 2y = 8

2y = 18
y = 9 olur.

Bu de�eri herhangi bir denklemde yerine yazarsak x = 17 bulunur.

Dolay�s�yla Ç = {(17, 9)} olur.

3.Yok Etme Metodu
Yok etme metodunda, bilinmeyenlerden birinin her iki denklemde katsay�lar� birbirinin z�t i�aretleri fakat mutlak de�erce e�it olacak �ekilde e�itlenir. Daha sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bir bilinmeyenli hale getirilir. Burada bulunan de�er, denklemlerin herhangi birinde yerine konularak di�er bilinmeyen de bulunur. Böylece denklem sistemi çözülmü� olur.

Örnek:

x + y = 26 denklem sisteminin çözüm kümesini
x – y = 8 yok etme metoduyla bulal�m.

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplarsak,

x + y = 26
+ x – y = 8

2x = 34
x = 17 bulunur.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

�ARPANLARA AYIRMA KURALLARI

24/5/2009 � Kategori: matematik odev

Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ay�rma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez d��na al�n�r.

Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yaz�l�r.

1) A�a��daki ifadeleri Çarpanlar�na ay�r�n�z.

a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)

c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a²b – 2ab² = ab (3a – 2b)

e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)

g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x² (a + b)

�) x²(p – 3) + ma² (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)

Grupland�rma Yaparak Çarpanlara Ay�rma :

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler iki�er, iki�er, üçer,

üçer gurupland�r�l�r. Gruplar ayr�, ayr� ortak çarpanlar�na ayr�l�r.

2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b²

c) x⁴ – 4 + 2x³ – 2x d) 2x² –3x – 6xy + 9y

e) x³ – x + 1 – x² f) x⁴ – x + x³ – 1

g) ab(c² – d²) – cd (a² – b²) h) ac² + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

�) mn(zⁱ + y²) + zy (m² + n²) i) a²b² + 1 – (a² + b²)

Tam Kare �eklindeki �fadeleri Çarpanlara Ay�rma :

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarp�m� n�n iki kat� ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare �eklinde ifadedir

a² + 2ab + b²= (a + b)², a² – 2ab + b² = (a – b)²

3) a) x² + 4xb + 4b² b) 4a² + 12ab + 9b² c) 4a²b² – 4abc + c²

4) a) a²b + 8ab +16b³ b) 2m³ – 28m² +98m c) 4x³y – 12x²y²+ 9xy³

�ki Kare Fark� �eklindeki �fadeleri Çarpanlara Ay�rma :

Polinom iki terimli , i�aretleri farkl�, kare kökleri al�n�yorsa; Bu

Polinom iki kare fark� biçiminde çarpanlar�na ayr�l�r.

a² – b²= (a + b) (a – b)

5) a) 25 – 9a²b² b) x⁴ – 1 c) (m – n)² – (m + n)²

6) a) 18x² – 2y² b) 2a²b³ – 32b c) 12x³y – 75xy⁵

7) a) 9a² – 6a +1 – b² b) x² – 12x + 36 – 4y² c)16m² – n² – 6n – 9

d)1 – x² – 2xy – y²e) m² – n² – 3m + 3n f) a² – 25b² – a + 5b

g) a² – 4m² – 12mn – 9n² h) 9a² –16m⁴ – 12axy + 4x²y²

�ki Küp Toplam� - Fark� �fadeleri Çarpanlara Ay�rma:

a³ + b³= (a + b) (a²– ab + b²) , a³ – b³= (a – b) (a²+ ab + b²)

8) a) a³ + 8 b) 8 – m³ c) x³ + 1 d) 27a³ – 64 e) x³a³ + b³

9) a) 81m³ – 3n³ b) 24x³y – 3y c) 2x + 54x⁴

10) a) (x +y)³ – 8 b) a³ + 8(a - b)³c) (m – n)³ + 1

xⁿ yⁿbiçimindeki polinomlar� Çarpanlara Ay�rma:

11) a) x⁴ + 1 = (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

b) x⁴ – 1 = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

c) x⁵ + 2⁵ = (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

d) x⁵ – 1 = (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Bir Terim Ekleyip Ç�kararak Çarpanlara Ay�rma:

Verilen �fade uygun bir terim ekleme ve ç�karma yolu ile tam kare

ve iki kare fark� �eklinde çarpanlara ay�rma i�lemine benzetilir

12) 4x⁴ + 7x² + 4 ifadesini Çarpanlar�na ay�r�n�z.

4x⁴ + 7x²+ 4 = 4x⁴ + 7x² + 4 + x² – x² = 4x⁴ + 8x² + 4– x²

= (2x² + 2)² – x²

2x² 2 = (2x² + 2 – x) (2x² + 2 + x)

2.2x².2 = 8x² = (2x² – x + 2) (2x² + x + 2)

13) x² – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat say�s�n�n yar�s�n�n karesini

ekleyip-ç�kararak çarpanlar�na ay�r�n�z.

x² – 6x + 5 + 3² – 3²= (x² – 6x + 3²) – 3² + 5 = (x – 3)² – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

14) a) m² + 2m – 24 b) a⁴ + a² + 1 c) 16a⁴ + 4a²b² + b⁴

d) a² – 6ab + 8b² +2b – 1 (Not: b² yi bir ekleyip - ç�kar )

8) x² + bx + c �eklindeki üç terimlileri Çarpanlar�na Ay�rma :

Çarp�mlar� c, toplamlar� b olan iki say� arayaca��z.

Çarp�mlar� (+) ise i�aretleri ayn�, Çarp�mlar� (–) ise i�aretleri farkl�

Toplamlar� (+) “ “ (+) olur Toplamlar� (+) “ büyü�ü (+) olur

Toplamlar� (–) “ “ (–) olur Toplamlar� (–) “ büyü�ü (–) olur

15)a) x² + 5x + 6 b) x² – 5x + 6 c) x² + 7x + 6 d) x² – 7x + 6

e) x² + 5x – 6 f) x² – 5x – 6 g) x² + x – 6 h) x² – x – 6

�) x² – 7x – 18 i) x⁴ – x² – 30 k) m² – 6m – 27 l) x² – 3xy – 10y²

m) –x² – 2x + 3 n) x² – 13x + 30 o) x² + 2y²– 3xy

9) ax² + bx + c �eklindeki üç terimlileri Çarpanlar�na Ay�rma :

ax² + bx + c = (mx + p) (nx + q)

mx p

nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)

16) 6x² + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.

3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x oldu�undan)

2x + 3

17) a) 3x² – 2x – 8 b) 3x² – 7x + 2 c) 2m² + 5mn – 12n²

d) 8a² – 2ab – b e) 4x² + 21x + 5 f) 36a² – 33ab – 20b²

g) 4m² + 11m – 3 h) 6a² + 5a – 6 �) 12a² – 8ab – 15b²

i) 2m² – 10m + 12 k) 3x² + 3x – 18 l) 3 n² + 30n + 48

18) a² + 2ab + b² = 3 ve c² + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?

c² + 2ac + 2bc = 6 T.T.T

a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 9(a + b + c)² = 9 Ç = {-3, 3}

19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = ?

a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = (x – y)⁵ = (4 – 2)⁵= 32

20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10

a + b yerine ab yaz�l�rsa

(a . b)² – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.

y² – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6

21) ise, C = 8

olur. (özde�likte yerine yazal�m )

22) ise; C = 36

olur. (özde�likte yerine yazal�m )

23) ise; C = 12

olur. (yerine yazal�m )

24) i�leminin sonucu kaçt�r?

123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yaz�l�rsa

=153 olur

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

�ZDE�L�KLER ve �ARPANLARA AYIRMA

24/5/2009 � Kategori: matematik odev

Tan�m : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarp�m� biçimin

de yaz�lamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.

Ba� katsay�s� bir olan indirgenemeyen polinomlar

Asal polinomlar denir.

* P(x) = x² + 4 , Q(x) = 3x² + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7

Polinomlar� indirgenemeyen polinomlar d�r.

P(x) = x² + 4 ba� katsay�s� 1 oldu�undan asal polinom dur.

Tan�m : �çindeki de�i�kenlerin alabilece�i her de�er için do�ru

olan e�itliklere özde�lik denir.

* a) x³ (x² – 2x) = x⁵ – 2x⁴b) a² (x + y)² = a² x² + a² y² özde�lik

c) a² (x +y)² = a² x² + a² y² özde�lik de�ildir.

ÖNEML� ÖZDE�L�KLER

I) Tam Kare Özde�li�i:

a) �ki Terim Toplam�n�n Karesi : (a + b)² = a² + 2ab + b²

�ki Terim fark�n�n Karesi : (a – b)² = a² – 2ab + b²

�ki terim toplam�n�n ve fark�n�n karesi al�n�rken; birincinin

karesi,birinci ile ikincinin iki kat�, ikincinin karesi al�n�r.

Üç Terim Toplam�n�n Karesi:

(a +b + c)² = a²+ b²+ c²+ 2 (ab + ac + bc) �eklindedir.

II) �ki Terim Toplam� veya Fark�n�n Küpü :

�ki Terim Toplam�n�n Küpü : (a + b)³= a³+ 3a²b + 3ab² + b³

b) �ki Terim Fark�n�n Küpü : (a – b)³= a³– 3a²b + 3ab² – b³

Birinci terimin küpü;() birincinin karesi ile ikincinin çarp�m�n�n 3 kat�, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarp�m�n�n 3 kat�,() ikin

cinin küpü biçimindedir. Bu aç�l�mlara Binom Aç�l�m�da denir

Not:. Paskal Üçgeni kullan�larak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli

lerin özde�liklerini de yazabiliriz.

III) �ki Kare Fark� Özde�li�i: (a + b) (a – b) = a² – b²

�ki terim toplam� ile fark�n�n çarp�m�; birincinin karesi ile

ikincinin karesinin fark�na e�ittir.

IV) xⁿ+ yⁿveya xⁿ- yⁿbiçimindeki polinomlar�n Özde�li�i :

i) �ki küp Toplam veya Fark� : a³ + b³= (a + b) (a²– ab + b²)

a³ – b³= (a – b) (a²+ ab + b²)

ii) a⁴ + b⁴= (a + b) (a³– a²b + ab² – b³)

a⁴ – b⁴= (a² + b²) (a + b) (a – b)

iii) a⁵ + b⁵= (a + b) (a⁴– a³b + a² b² – ab³ + b⁴)

a⁵ – b⁵= (a – b) (a⁴+ a³b + a² b²+ ab³ + b⁴)

iv) a⁶ + b⁶= (a + b) (a⁵– a⁴b + a³ b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵)

a⁶– b⁶= (a – b) (a²+ ab + b²) (a+ b) (a² + ab + b²)

v) a⁷ + b⁷= (a + b) (a⁶– a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)

a⁷– b⁷= (a – b) (a⁶+ a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

Özde�likleri a�a��daki �ekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

x² + y²= (x + y)² – 2xy

x² + y² = (x – y)² + 2xy

3) (x – y)² = (x + y)² – 4xy

4) (x + y)² = (x – y)² + 4xy

5) x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)

6) x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)

7) x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)

1) �ki say�n�n toplam� 17, kareleri toplam� 145 ise; bu say�lar�n

çarp�m� kaçt�r?

x² + y²= (x + y)² – 2xy 2ab = 289 – 145

145 = (17)² – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72

2) a – b = 6 (a + b)² = (a – b)² + 4ab (a + b)² = 44

a . b = 2 = ( 6 )² + 4.2 (a + b) =

a + b = ? = 36 + 8 =

3) a – 2b = 3 ise; a² + 4b² = ? a² + 4b² = (a – 2b)² +2. a2b

a . b = 2 = ( 3 )² + 2. 2 .2 = 17

4) a + b = 12 ise; a . b = ? (a + b)² = (a – b)² + 4ab 4 ab = 108

a – b = 6 ( 12 )² = ( 6 )² + 4ab ab = 27

5) ise; x² + y² = (x – y)² + 2xy

6) ise;

Ç = {- 4 , 4}

7) m + n =8 x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

m . n = 1 m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn (m + n)

m³ + n³ = ? = ( 8 )³ – 3 . 1 . 8 = 488

8) a³ – b³ = 50 x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise; a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

a . b = ? 50 = 8 + 6ab 6ab = 42ab = 7

9) ise; x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

= ( 3 )³ + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise; x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

198

11) a + b + c = ? a² + b² + c² = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12 = ( 7 )² – 2 ( 12 )

a² + b² + c² = ? = 49 – 24 = 25

12) ise;

= 15

13) ise; C = 120

14) ise; C = 63

15) ise; C = 154

16) ise; C = 75

17) ise; C = 999

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

Y�ZDE, KARI�IM VE SAAT PROBLEMLER� Y�ZDE PROBLEMLER�

24/5/2009 � Kategori: matematik odev

%a=a Bir say�n�n %a s�=x.a

Kar-Zarar Problemleri:

Maliyet:100 %20 kar Sat��:120

Maliyet:100 %20 �ndirim Sat��:80

�ndirimli sat��n üzerinden %20 karl� sat��:80.%120=96

ÖRNEK-1:

%32 indirimle 17000 liraya sat�lan kalemin indirimden önceki fiyat� nedir?

A)20000 B)32000 C)27000 D)25000

Çözüm:

Maliyet:100 �ndirim:%32 100-32=68 indirimli

%68 i 17000 ise

%100 ü x lirad�r.

X=17000.100 x=25000 olur.

Cevap D ��kk�d�r.

Faiz Problemleri:

F:Faiz Y�ll�k faiz : F=

A:Ana para(kapital) Ayl�k faiz : F=

Faiz yüzdesi:n Günlük faiz: F=

Zaman:t

Örnek-2:

Bankaya yat�r�lan 400.000 lira paran�n 6 y�lda getirdi�i faizi,ayn� faiz yüzdesi ile 600.000 kaç y�lda getirir?

Örnek-3:

12.000.000 milyonluk kapital 2.000.000 luk faizi %50 den kaç günde getirir?

Örnek-4:

Ali 20.000.000 liras�n� %60 tan 15 günlü�üne bankaya yat�r�rsa ne kadar faiz getirir?

A)1.000.000 B)750.000 C)500.000 D)250.000

Çözüm:

F=

F=20.000.000.60.15

Cevap C ��kk�d�r.

Örnek-5:

4 y�lda %50 den 200.000.000 lira faiz getiren anapara ne kadard�r?

A)100.000.000 B)200.000.000 C)350.000.000 D)175.000.000

KARI�IM PROBLEMLER�

Örnek-1:

%25 �eker içeren 20kg lik �eker-su kar��m�na kaç kg su ekleyelim ki kar��m�n �eker oran� %20 olsun?

A)6 B)5 C)4 D)2

Çözüm:

Örnek-2:

%40’l�k 10 kg alkol-su kar��m�ndan kaç kg su buharla�t�ral�m ki kar��m�n alkol oran� %50 olsun?

A)4 B)3 C)5 D)2

Çözüm:

SAAT PROBLEMLER�

|30.saat(akrep)-5,5.dakika(yelkovan)|=aras�ndaki aç�

Örnek-1:

Saat 15:10 iken akrep ile yelkovan aras�ndaki küçük aç� kaç derecedir?

A)30 B)35 C)40 D)45

Çözüm:

|30.3-5,5.10|

90-55=35 derece olur.

Cevap b ��kk�d�r.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

TABAN AR�TMET�� NED�R?

11/5/2009 � Kategori: matematik odev

Bir say� sisteminde say�n�n basamak de�erlerini göstermek için kullan�lan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T= a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

T, 1 den büyük do�al say�d�r.

a, b, c, d rakamlar� T den küçüktür.

Taban belirtmeden kulland��m�z say�lar 10 luk tabana göredir.

(abc, de)T = a . T ² + b . T + c + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2}dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Say�n�n Herhangi

Onluk tabanda verilen say�, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu i�leme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ard��k olarak yap�lan bu bölmelerden kalanlar sondan ba�layarak (ilk kalan son rakam olacak �ekilde) s�ralanmas�yla istenen say� olu�turulur

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Say�n�n 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen say�, ait oldu�u tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Say�n�n Ba�ka Bir Tabanda Yaz�lmas�

Herhangi bir tabanda verilen say� önce 10 taban�na çevrilir. Bulunan de�er istenen tabana dönü�türülür.

4. Taban Aritmeti�inde Toplama, Ç�karma, Çarpma ��lemleri

De�i�ik tabanlarda yap�lacak i�lemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yap�l�r.

T taban�nda verilen say�larda toplama ve çarpma i�lemleri bilinen cebirsel i�lem gibi yap�l�r, ancak sonuç T den büyük ç�karsa içinden T ler at�l�p kalan al�n�r. At�lan T adedi elde olarak bir sonraki basama�a ilave edilir.

Ç�karma i�lemi yap�l�rken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerekti�inde, bu 1 in aktar�ld�� basama�a katk�s� taban�n say� de�eri kadard�r. Fakat al�nd�� basamaktaki rakam 1 azal�r.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

Thales’in benzerlikleri

11/5/2009 � Kategori: matematik odev

Benzer üçgenler kavram� Thales (M.Ö. 600) ve onun öncesinden ba�lam��, Eude-mus’la (M.Ö. 335) devam etmi�tir. Benzer üçgenler Thales taraf�ndan yan�na var�lamayan uzakl�klar�n ölçülmesinde kullan�lm��t�r. Bugün orta dereceli okullarda okutulan Thales teoremleri çok sevilen kurallard�r. Yaln�z, yan�na var�lamayan uzakl�klar� ölçen ilkel baz� araçlar Babilliler taraf�ndan yap�lm��t�r. Öklit,, Babillilerin bu aletinin kar��k bir �ekil oldu�unu yazar. Bir �ekle uydurup ispat�n� da veremez. Bu �eklin ispat�n� daha sonraki yüzy�llarda el Nairizi yazar� bilinmeyen birinin aç�klamalar�na dayand�rarak verir Bunun en iyi ürünlerini de Napolyon’un (1769 -1821) matematikçileri alm��t�r.

Thales’in benzerliklerini en iyi ve pratik olarak uygulamalar�n� Rönesans yazarlar� kullan�r. Bunlar�n en güzel �ekillerini Belli’nin (1570), 1569 y�l�nda yay�nlad�� çal��mas�nda görebiliriz.

Sevdiklerimize onlar� sonsuza kadar sevece�imizi söyleriz, hatta buna biz de inan�r�z. Oysa sonsuz o kadar uzak ki..- Sonsuzda ne biz var�z, ne Dünya var, ne Güne� var, ne de Samanyolu var. Tüm kumsallardaki tüm kum tanelerini sayabiliriz. Ya da evrenin bilinen ölçüleri içinde kaç tane molekül oldu�unu bile hesaplayabiliriz. Bu de�erlerle dü�ünmeye ba�lad��m�z zaman içinde ya�ad��m�z zaman diliminin k�ymetini daha iyi anlamaya ba�lar�z. Onun ne kadar k�sa, ne kadar de�erli oldu�unu görürüz. Matematikçilerin hayat� seven ama ciddiye almayan yakla��mlar�nda bu sonsuz kavram�yla ha��r ne�ir olmalar�n�n bir etkisi var m�d�r dersiniz?

Peki, bu sayma i�lemlerinde kulland��m�z say�lar�n kendilerini saymaya kalkarsak? Kaç tane tam say� vard�r dersiniz.? Elbette sonsuz tane. Bu sonsuz kavram�n� kullanarak ondan daha büyük sonsuz kavramlar� da dü�ünebiliriz, Örne�in: bir do�ru üzerindeki herhangi iki farkl� nokta aras�ndaki nokta say�s� daha büyük bir sonsuz de�ere kar��l�k gelir. �nsano�lu sonsuz kavram�na ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durumlarla yakla�abiliyor. Sonsuz denince akla bu kavram� sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatç�s� Esher geliyor. Birbirini çizen eller, birbirine dönü�en varl�klar ve içine girdi�iniz zaman sonsuza kadar ç�kamayaca��n�z resimler.

Geometri sözcü�ü Dünya’n�n ölçümü anlam�na gelir. Bu bilim dal� ba�lang�çta düzlemdeki ve uzaydakine kar��n, geometri deneysel yöntemlerin kullan�m�n� çok erken b�rakt�. �spat öne ç�kt�. Bunun tersine, �ekilleri gerçek nesnelerin ideal biçimine indirgemeye çal��t�. Parçalar� olmayan nokta, bütün noktalarda kendine benzeyen do�ru ve yüzeyler birer aksiyom olarak al�nd�. Öte yandan geometri, gözlemi de ölçmeyi de kullanmayan postülatlar ve sonuçlarla i�leyen bir kan�tlama biçimine ba�vurdu. Babilliler ve M�s�rl�larda önceleri ispat yoktu ve daha çok deneme yöntemi kullan�l�yordu. Ama Thales (�. Ö. 626 - 545) ve Öklites’le (�. Ö. 300) gelen geometri tümüyle ispatl�yd�.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

�r�nt� i�eren s�slemeler-�r�nt� ve s�slemeler -Matematik �dev

26/4/2009 � Kategori: matematik odev

Geometrik �ekilleri kullanarak çe�itli örüntü ve süslemeler

olu�turma

Örüntü ve Süslemeler Sanatta ve mimaride yüzy�llard�r geometrik �ekillerin kullan�ld�� öteleme hareketlerine ve süslemelere rastlanmaktad�r. Süsleme, bir düzlemin bo�luk kalmadan ve �ekiller üst üste gelmeden örüntü olu�turacak �ekilde dö�enmesidir. �ekiller öteleme hareketi ile dö�enirse ötelemeli süsleme yapm�� oluruz.

Maurits Cornelis Escher (Marits Kornel E�er) (1898-1972) Hollandal� bir ressamd�r. Eserlerinin bir k�sm�n� ku�,bal�k vb. motiflerle yapt�� süsleme örnekleri olu�turmaktad�r.
Süsleme Yapal�m!

1.Gerekli Araçlar:

Bir yaprak çizgisiz beyaz ka��t,
Kareli defterimizden bir yaprak,
Kur�un veya uçlu kalem,
Silgi,
Pilot kalem veya asetat kalemi,
Boyama ve süsleme için keçeli kalemler,
Cetvel veya dikdörtgen çizmemizde yard�mc� olabilecek herhangi bir �ey.

2.Kareli Ka��t Defterimizden kopard��m�z kareli ka��d� y�rtarak ikiye bölelim. Y�rt��n düzenli veya da��n�k, yatay veya dikey olmas� farketmez.

3.Sayfalar� adland�r�yoruz Y�rtarak ikiye böldü�ümüz ka��tlara "Sayfa1" ve "Sayfa2" yazarak adland�r�yoruz. Çizgisiz beyaz ka��da "Sayfa3" yaz�yoruz.

4.Dikdörtgen çiziyoruzKur�un kalemle "Sayfa1"in üzerindeki karelerden yararlanarak bir dikdörtgen çiziyoruz. Daha görünür olmas� için keçeli kalem veya asetat kalemi ile üzerinden geçiyoruz.

5.Dikdörtgeni kopyal�yoruz "Sayfa2"yi "Sayfa1"in üzerine koyuyoruz. ("Sayfa1"deki dikdörtgeni yeteri kadar koyu çizmi�sen, "Sayfa2"den görünecektir. E�er görünmüyorsa üzerinden bir defa daha geçmen sorunu çözecektir.) Cetvel ve kur�un kalem yard�m�yla dikdörtgeni dikkatlice "Sayfa2" ye kopyal�yoruz. Daha sonra üzerinden keçeli kalemle geçerek belirginle�tirebilirsin.

6.Dikdörtgeni "Sayfa3"e kopyal�yoruz Bir önceki ad�mda yapt��m�z gibi "Sayfa3"ü, "Sayfa1" üzerine yerle�tirerek, kur�un kalem kullanarak fazla bast�rmadan dikdörtgenleri kopyal�yoruz. Daha sonra bu çizgileri silece�imiz için kalemi mümkün oldu�unca az bast�r�n. Dikdörtgenlerin kenarlar�nda, alt�nda ve üstünde bo�luk kalmayacak �ekilde dö�eyerek çiziyoruz. Bu ad�m biraz zor gelebilir. Silgiyi birçok defa kullanabilirisin :( Ama üzülme, i�in uzmanlar� bile bu ad�mda hata yapar!

6. E�ri çiziyoruzBu ad�mda dikdörtgenin sol üst kö�esinden ba�layan, sol alt kö�esinde biten "S" harfine benzer bir e�ri çiziyoruz. Önce kur�un kalem ile fazla bast�rmadan çizip, e�rini be�endiysen, sonra üzerinden keçeli kalemle geçebilirsin.

8. E�riyi kopyal�yoruzBir önceki ad�mda çizdi�imiz e�riyi, önce "Sayfa2"yi "Sayfa1" üzerine koyup çizgileri çak��t�rarak kopyal�yoruz. Sonra "Sayfa2"yi biraz sola kayd�r�p e�riyi dikdörtgenin sa� kenar�na kopyal�yoruz. Çal��man�z� kontrol edin. Yukar�daki foto�rafa benziyor olmas� gerekiyor. Son olarak "Sayfa1"i "Sayfa2" üzerine koyup çizgileri çak��t�rarak e�riyi kopyal�yoruz.

9.Kontrol Çal��man�z� kontrol ediniz. "Sayfa1","Sayfa2" ve "Sayfa3" yukar�daki foto�rafta gördü�ünüz gibi olmal�.

10.E�ri çiziyoruz"Sayfa1"deki dikdörtgenin alt kenar�na foto�raftakine benzer �ekilde bir e�ri çiziyoruz. Önce kur�un kalem ile fazla bast�rmadan çiziniz. Sonra üzerinde keçeli kalem ile geçebilirsiniz.

11.E�riyi kopyal�yoruzKur�un kalem kullanarak, hafifçe, fazla bast�rmadan, bir önceki ad�mda çizdi�imiz e�riyi, önce "Sayfa2"yi "Sayfa1" üzerine koyup çizgileri çak��t�rarak kopyal�yoruz. Sonra "Sayfa2"yi biraz a�a��ya kayd�r�p e�riyi dikdörtgenin üst kenar�na kopyal�yoruz. Çal��man�z� kontrol edin. Yukar�daki foto�rafa benziyor olmas� gerekiyor. Son olarak "Sayfa1"i "Sayfa2" üzerine koyup çizgileri çak��t�rarak e�riyi kopyal�yoruz.

12. Hayalgücünü Kullan!Çizdi�in �eklin ne olaca��na karar vermek sana kalm��. Sence daha çok neye benziyor? Bir kedi mi? Yoksa bir ku� mu? Bir bal�k ta olabilir, bir gergedan da...

13.Tema seçiyoruz Bence çizdi�im �ekil sevimli bir gergedan yavrusuna benziyor. Seninkiside gergedan olmak zorunda de�il. �stedi�in birini seç!

14.Çizimimizi "Sayfa3"e yerle�tiriyoruz"Sayfa2"yi "Sayfa3"ün alt�na koyuyoruz. "Sayfa3"teki dikdörtgenlerden biri ile "Sayfa2"deki dikdörtgeni çak��t�r�yoruz. Kur�un kalem ile, dikkatlice ve fazla bast�rmadan Çizimimizi kopyal�yoruz. "Sayfa3"teki di�er tüm dikdörtgenler için ayn� i�lemi tekrarl�yoruz.

15. Çal��mam�z� kontrol edelimÇal��man�z�n a�a�� yukar� foto�raftaki gibi olmas� gerekiyor. Yukar�daki foto�raf� dikkatlice inceliyecek olursan�z, benim yapt��m baz� çizim hatalar�n� görebilirsiniz. Bunlar� silgi ile silip, kur�un kalem ile düzelticem. Herkes hata yapabilir!

16. Çal��mam�z� bitiriyoruz Son olarak kur�un kalem izlerini siliyoruz. Renkli kalemler ile çal��mam�z� süslüyoruz.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

HIZ PROBLEMLER�

24/4/2009 � Kategori: matematik odev

I AD I= 4 I AB I olmak �art�yla,bir araç V km/saat h�zla I AC I yolunu 3 saatte, I CD I yolunu 5 saatte gidebilmektedir.

Araç ayn� h�zla I BC I yolunu kaç saatte gider?

(Cevap=1 ç�kacak)

2) �ki otobüsten birincisi gitti�i yolu 6 saatte,ikincisiyse ayn� yolu 8 saatte al�yor.�kincisi h�z�n� saatte 30 km artt�r�rsa birincisinden bir saat erken varaca�� hesapland��na göre bu yolun uzunlu�u kaç km'dir?

(Cevap=400 ç�kacak)

3)Bir yüzücünün dalgalara kar�� h�z� dakikada 10 metredir.Sahile do�ru h�z� da dakikada 15 metredir.

15 dakikada denize aç�l�p geri döndü�üne göre sahilden kaç metre aç�lm��t�r?(Cevap=90 ç�kacak)

4) A'dan h�z� V1 km/sa, b'den h�z� V2 km/sa olan iki araç,ayn� anda birbirlerine do�ru hareket ediyolar ve 12 saat sonra kar��la��yorlar.

V1/V2=3/4 ise, A Kentinden hareket eden,A'dan B'ye kaç saatte gidip gelebilir?(Cevap=56 ç�kacak)

5)

�ekilde I AC I=50 km, I CB I=30 km dir. A ve B noktalar�ndan ayn� anda V1 km/saat ve V2 km/saat h�zla iki araç kar��l�kl� hareket ettiklerinde C noktas�nda,ayn� yönde hareket ettiklerinde D noktas�nda,arkadaki araç öndeki araca yeti�iyor.

Buna göre I BD I kaç km'dir?
(Cevap=120 ç�kacak)

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

Matematik dersinde ��renilen bir kavram, sembol ve ili�kileri i�eren haber ve makalelerin g�ncel yay�nlardan derlenip bir poster haz�rlanmas�.

15/4/2009 � Kategori: matematik odev

Beyni bilgisayar gibi çal��yor !

Frans�z Matematik dehas�, beyniyle yeni bir rekora imza att�.
Frans�z Matematik dehas� Alexis Lemaire (27), bilgisayar kadar h�zl� kulland�� beyniyle yeni bir rekora imza att�. Lemaire, bilgisayardan rastgele seçti�i 2.407.899.893.032.210 (2 katrilyon 407 trilyon 899 milyar 893 milyon 32 bin 210) say�s�n�n 13. kökünü 70.2 saniyede ka��t kalem kullanmadan do�ru olarak hesaplad�. 13. kök, bir say�n�n kendisiyle 13 kere çarp�lmas�yla elde ediliyor.

Çözülemeyen sorunun yan�t�
16 Ocak Cuma günü '�lkö�retim 3'üncü s�n�f kitab�ndaki matematik sorusu mant�k s�n�rlar�n� a�t�' ba�l�kl� bir haber geçilmi�ti...

Haberde, 'Milli E�itim Bakanl�� taraf�ndan �lkö�retim Okullar� için, Hülya Nalan Mamaç, Nevzat Ünsal ile Fatma Derya Yavuz'un yazd�� yeni müfredata göre haz�rlanan �lkö�retim 3'üncü s�n�f Matematik Ö�renci Çal��ma Kitab�'n�n 85'inci sayfas�ndaki soru dikkat çekti. Kitapta, '�lginç' ba�l��yla verilen soru �öyle:

�Levent ve Bülent o�ullar�yla bal�k tutmaya gittiler. Levent o�lunun tuttu�u bal��n iki kat� kadar bal�k tuttu. Bülent de o�lunun tuttu�u bal��n iki kat� kadar bal�k tuttu. Toplam 21 bal�k tutulmu�tu. Levent'in o�lunun ad� Mert'ti.

- Bülent'in o�lunun ad� nedir?
- Her biri kaç bal�k tutmu�tur?' denildi...

Haberin yay�nlanmas�n�n ard�ndan birçok okuyucumuz da soruyu çözemediklerini ve sorunun yanl�� soruldu�unu belirten yorumlar gönderdiler... Oysa ki soru 3. s�n�flar için 'a��r' olmakla birlikte yanl�� de�ildi ve bir çözümü de vard�...

��TE MERAK ED�LEN YANIT

Yan�t 1: Soruda Levent ve Bülent'in o�ullar�yla bal�k tutmaya gittikleri ve Levent'in o�lunun ad�n�n Mert oldu�u belirtilerek, Bülent'in o�lunun ad� soruluyor. Küçük bir mant�k yürütmeyle Mert'in babas� Levent'in, Bülent'in o�lu oldu�u ve bu üçlünün dede, o�ul, torun olarak bal��a gittikleri sonucuna var�labilir. Yani cevap Levent'tir...

Yan�t 2: Toplam bal�k:21
Mert'in bal�klar�:x
Levent'in bal�klar�:2x
Bülent'in bal�klar�: 4x

x+2x+4x=21
7x=21
x=21/7
x=3

Öyleyse; Mert 3, Levent 6, Bülent 12 bal�k tutmu�tur...

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

B�R�NC� DERECEDEN B�R B�L�NMEYENL� DENKLEMLER

5/4/2009 � Kategori: matematik odev

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) say�lar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 e�itli�ine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sa�layan x de�erlerine denklemin kökü, denklemin kökünün olu�turdu�u kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. E��TL��N ÖZELL�KLER�

1) a = b ise, a ± c = b ± c dir.

2) a = b ise, a . c = b . c dir.

3) a = b ise,

4) a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

5) a = b ise,

6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.Ü

7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

8) (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

9) (a = b ve c = d) ise,

10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) d�r.

11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) d�r.

12) = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) d�r.

C. ax + b = 0 DENKLEM�N�N ÇÖZÜM KÜMES�

a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 ise,

(a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün say�lar sa�lar. Buna göre, reel (gerçel) say�larda çözüm kümesi IR dir.

(a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sa�layan hiçbir say� yoktur.
Yani, Ç = Æ dir.

D. B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEM S�STEM�

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir do�ru belirtir. Do�ru üzerindeki bütün noktalar�n olu�turdu�u ikililer denkle-min çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden olu�ur.

a, b, c Î IR olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î IR²için sa�lan�yorsa

a = b = c = 0 d�r.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden olu�an sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunmas�

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yap�l�r.

Biz burada üçünü verece�iz.

a. Yok Etme Yöntemi: De�i�kenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplan�r.

Taraf tarafa topland��nda veya ç�kar�ld��nda (ya da bir düzenlemeden sonra) de�i�kenlerden biri sadele�iyorsa “Yok etme yöntemi” kolayl�k sa�lar.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, de�i�kenlerden biri çekilip di�er denklem-de yerine yaz�larak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, de�i�kenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolayl�k sa�lar.

c. Kar��la�t�rma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de ayn� de�i�ken çekilir. Denklemlerin di�er taraflar� kar��la�t�r�l�r (e�itlenir).

Her iki denklemden de ayn� de�i�ken kolayca çekilebiliyorsa, “Kar��la�t�rma yöntemi” kolayl�k sa�lar.

Ü ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alal�m:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir do�ru belirtti�i göz önüne al�n�rsa üç durum oldu�u görülür.

Birinci durum:

ise, bu iki do�ru tek bir noktada kesi�ir.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan olu�ur.

�kinci durum:

ise, bu iki do�ru çak��kt�r.

Do�ru üzerindeki her nokta denklem sistemini sa�lar.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan olu�ur.

Üçüncü durum:

ise, bu iki do�ru paraleldir.

Denklem sistemini sa�layan hiçbir nokta bulunamaz.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bo� kümedir.

Kal�c� Ba�lant� Yorum (0)

� �nceki :: Sonraki �

arad��n�z t�m �devler bu mekanda!!!Do�ru yerdesiniz!!!

B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEMLER

�ARPANLARA AYIRMA KURALLARI

�ZDE�L�KLER ve �ARPANLARA AYIRMA

ÖNEML� ÖZDE�L�KLER

I) Tam Kare Özde�li�i:

Özde�likleri a�a��daki �ekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

Y�ZDE, KARI�IM VE SAAT PROBLEMLER� Y�ZDE PROBLEMLER�

Maliyet:100 %20 kar Sat��:120

Maliyet:100 �ndirim:%32 100-32=68 indirimli

F=

Örnek-5:

A)6 B)5 C)4 D)2

Saat 15:10 iken akrep ile yelkovan aras�ndaki küçük aç� kaç derecedir?

A)30 B)35 C)40 D)45

TABAN AR�TMET�� NED�R?

Thales’in benzerlikleri

�r�nt� i�eren s�slemeler-�r�nt� ve s�slemeler -Matematik �dev

HIZ PROBLEMLER�

Matematik dersinde ��renilen bir kavram, sembol ve ili�kileri i�eren haber ve makalelerin g�ncel yay�nlardan derlenip bir poster haz�rlanmas�.

B�R�NC� DERECEDEN B�R B�L�NMEYENL� DENKLEMLER

A. TANIM

B. E��TL��N ÖZELL�KLER�

C. ax + b = 0 DENKLEM�N�N ÇÖZÜM KÜMES�

D. B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEM S�STEM�

Men�

Son Yaz�lar�m

Kategorilerim

Arkada�lar�m

Ba�lant�lar�m

ÖNEML� ÖZDE�L�KLER

I) Tam Kare Özde�li�i:

Özde�likleri a�a��daki �ekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

Maliyet:100 %20 kar Sat��:120

Maliyet:100 �ndirim:%32 100-32=68 indirimli

F=

Örnek-5:

A)6 B)5 C)4 D)2

Saat 15:10 iken akrep ile yelkovan aras�ndaki küçük aç� kaç derecedir?

A)30 B)35 C)40 D)45

A. TANIM

B. E��TL���N ÖZELL�KLER�

C. ax + b = 0 DENKLEM�N�N ÇÖZÜM KÜMES�

D. B�R�NC� DERECEDEN �K� B�L�NMEYENL� DENKLEM S�STEM�

Men�

Son Yaz�lar�m

Kategorilerim

Arkada�lar�m

Ba�lant�lar�m

B. E��TL��N ÖZELL�KLER�