ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA
24 05 2009

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin

de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.

Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar

Asal polinomlar denir.

 

* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.


Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru

olan eşitliklere özdeşlik denir.


* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir.


ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER



I) Tam Kare Özdeşliği:
  1. a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  1. İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2


İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin

karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

  1. Üç Terim Toplamının Karesi:

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.



II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :


  1. İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


Birinci terimin küpü;() birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,() ikin

cinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir


Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli

lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.



III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2


İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile

ikincinin karesinin farkına eşittir.



IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :


i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)


ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)


iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)


iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)


v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)



Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz


  1. x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy


  1. x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy


3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy


4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy


5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)


6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)


7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların

çarpımı kaçtır?

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145

145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72

2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44

a . b = 2 = ( 6 )2 + 4.2 (a + b) =

a + b = ? = 36 + 8 =

3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

a . b = 2 = ( 3 )2 + 2. 2 .2 = 17

4) a + b = 12 ise; a . b = ? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab = 108

a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27

5) ise; x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

20

6) ise;

Ç = {- 4 , 4}

7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m . n = 1 m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ? = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

8) a3 – b3 = 50 x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise; a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a . b = ? 50 = 8 + 6ab 6ab = 42ab = 7

9) ise; x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise; x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

11) a + b + c = ? a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12 = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ? = 49 – 24 = 25

12) ise;

= 15

13) ise; C = 120

14) ise; C = 63

15) ise; C = 154

16) ise; C = 75

17) ise; C = 999

54912
0
0
Yorum Yaz